Question

7．操作与证明：
如图1，已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点（P与B、C两点不重合），过点P作射线PE⊥AP，在射线PE上截取线段PF，使得PF=AP．
（1）过点F作FG⊥BC交射线BC点G．（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：FG=BP．
探究与计算：
（3）如图2，若AB=BC，连接CF，求∠FCG的度数；
（4）在（3）的条件下，当$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{4}$时，求sin∠CFP的值．

Answer 1

分析 （1）利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；
（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可证得△ABP≌△PGF，继而证得结论；
（3）首先证得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，继而求得答案；
（4）首先作CH⊥PF于H，易证得△PHC∽△PGF，由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$，然后设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，分别求得FC，HC，继而求得答案．

解答 （1）解：如图1所示：

（2）证明：∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°．
∴∠APB+∠GPF=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠GPF，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABP=∠PGF=90°，
在△ABP与△PGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠PGF}\\{∠BAP=∠GPF}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PGF（AAS）．
∴FG=BP；

（3）解：由（2）知AB=PG，
∵AB=BC，
∴BC=PG．
∴BC-PC=PG-PC．
∴BP=CG，
又∵FG=BP，
∴FG=CG．
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°；

（4）解：如图2，作CH⊥PF于H，
∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，
∴△PHC∽△PGF．
∴$\frac{HC}{GF}=\frac{PC}{PF}$，
根据$\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$，
设BP=3a，则PC=a，PG=4a，FG=CG=3a，
∴PF=$\sqrt{P{G}^{2}+F{G}^{2}}$=5a，CF=$\sqrt{C{G}^{2}+F{G}^{2}}$=3$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{HC}{3a}=\frac{a}{5a}$．
∴HC=$\frac{3}{5}$a，
∴sin∠CFP=$\frac{HC}{CF}=\frac{\frac{3}{5}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 此题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．