Question

19．观察下面的变形规律：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）求和：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2010×2011}$=$\frac{2010}{2011}$．

Answer 1

分析 （1）根据变形规律直接可以写出答案．
（2）根据规律展开即可化简求值．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$．
故答案为$\frac{2010}{2011}$．

点评 本题考查分数的加法法则，运用规律把分数拆为两个分数的差是解题的关键．