Question

19．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．

Answer 1

分析 分两种情况：①当 $\frac{CE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$ 时，②当 $\frac{CF}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，分别求解即可．

解答 解：解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当 $\frac{CE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$ 时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{4}{3}$ （可以用面积法证明），
∵DN∥AC，
∴$\frac{DN}{CE}$=$\frac{DF}{EF}$=$\frac{3}{7}$，即 $\frac{1}{CE}$=$\frac{3}{7}$，
∴CE=$\frac{7}{3}$，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$，即 $\frac{EF}{5}$=$\frac{7}{3}$，
解得：EF=$\frac{35}{12}$；
②当 $\frac{CF}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$时，同理得：EF=$\frac{35}{12}$；
综上所述，EF的长为 $\frac{35}{12}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度．