Question

4．图中ABCD为正方形，Q及R分别为AD及AB上的点，DR与CQ相交于P，已知AQ=BR．
（1）求证：△ADR≌△DCQ；
（2）若AR=10cm，QP=6cm，求△DPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）正方形的边长相等，四个角相等，即AD=DC=AB，∠A=∠CDQ=90°，根据条件还能证AR=DQ，故能证明△ADR≌△DCQ．
（2）根据全等三角形的性质可得DQ=AR=10cm，根据勾股定理能求出DP的长，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=AB，∠A=∠CDQ=90°，
∵AQ=BR，
∴AR=DQ，
在△ADR与△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠A=∠CDQ}\\{AR=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ADR≌△DCQ．

（2）解：∵△ADR≌△DCQ，
∴DQ=AR=10cm，
∵QP=6cm，∠DPQ=90°，
∴DP=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8cm，
∴△DPQ的面积为：$\frac{1}{2}$×6×8=24（cm²）．
故△DPQ的面积是24cm²．

点评 本题考查正方形的性质，四边相等，四个角相等，以及全等三角形的判定和性质．