Question

1．已知，D、E分别为等边三角形ABC边上的点，AD=CE，BD、AE交于N，BM⊥AE于M．
证明：（1）∠CAE=∠ABD；
（2）MN=$\frac{1}{2}$BN．

Answer 1

分析 （1）与等边三角形的性质得出AC=AB，∠BAC=∠C=60°，由SAS证明△ABD≌△CAE，得出∠CAE=∠ABD即可；
（2）由（1）得∠CAE=∠ABD，求出∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，得出∠BMN=90°，∠MBN=30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

解答 证明：如图所示：
（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠C=60°，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}&{\;}\\{∠BAD=∠C}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；
（2）由（1）得∠CAE=∠ABD，
∵∠CAE+∠BAE=60°，
∴∠BAE+∠ABD=60°
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，
∵BM⊥AE，
∴∠BMN=90°，
∴∠MBN=30°，
∴MN=$\frac{1}{2}$BN．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，证明全等三角形是解本题的关键．