Question

已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线相交于O，且AO，BO的边长分别是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根．
（1）求m的值；
（2）求菱形内切圆的面积．

Answer 1

考点：菱形的性质,根与系数的关系,三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）由菱形的性质可知AO²+BO²=5²，再结合一元二次方程根与系数的关系可得到关于m的方程，可求得m的值；
（2）由（1）可求得AO、BO，在Rt△ABO中可求得O到AB的距离，即内切圆的半径，可求得内切圆的面积．

解答：解：
（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AO²+BO²=AB²=5²=25，
又AO，BO的边长分别是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，
∴AO+BO=2m-1，AO•BO=4（m-1），
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO•BO=（2m-1）²-8（m-1）=4m²-12m+9=25，
整理可得m²-3m-4=0，解得m=4或m=-1，
当m=-1时，4（m-1）=-8＜0，不合题意，舍去，
∴m=4；
（2）由（1）可知方程为：x²-7x+12=0，
解得x=3或x=4，
∴AO、BO一个长度为3，一个为4，
设菱形内切圆的半径为r，即O点到AB的距离，
在Rt△AOB中，由面积相等可得AB•r=AO•BO，
∴r=

12

5

，
∴S_内切圆=πr²=

144π

25

．

点评：本题主要考查菱形的性质和一元二次方程根与系数的关系，在（1）中利用根与系数的关系借助菱形的对角线互相垂直且平分得到关于m的方程是解题的关键，在（2）中确定出内切圆的半径是解题的关键．