Question

如图，在△ABE中，AB=AE，以AB为直径的半圆O交AE于点C，交BE于点D，点F是CE的中点，连接CD、DF．
（1）求证：DC=DE；
（2）求证：FD与半圆O相切；
（3）若AB=10，cosB=

3

5

，求FD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质得出∠E=∠ECD，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质得出DO∥AE，进而得出OD⊥DF即可；
（3）利用锐角三角函数关系得出BD的长，进而利用勾股定理得出AD的长，进而利用三角形面积求出即可．

解答：（1）证明：∵AB=AE，
∴∠B=∠E，
∵∠B=∠ECD，
∴∠E=∠ECD，
∴DC=DE；

（2）证明：连接DO，
∵∠1=∠B，∠2=∠B，
∴∠1=∠2，
∴DO∥AE，
∵DC=DE，F为CE中点，
∴DF⊥EC，
∴OD⊥DF，
∴FD与半圆O相切；

（3）解：连接AD，则∠ADB=90°，
∵AB=10，cosB=

3

5

，
∴

DB

AB

=

3

5

=

BD

10

，AE=AB=10，
解得：BD=6，
故AD=8，
∵AB=AE，AD⊥BE，
∴DE=BD=6，
∴S_△ADE=

1

2

×AD×ED=

1

2

×FD×AE=

1

2

×8×6=

1

2

×10×FD，
解得：FD=4.8．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练应用等腰三角形的性质是解题关键．