Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c经过A、B、C三点，已知B（4，0），C（2，-6）．
（1）求该抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）点D（m，n）（-1＜m＜2）在抛物线图象上，当△ACD的面积为$\frac{27}{8}$时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，进而求出点A的坐标；
（2）过D作DH垂直x轴于H，CG垂直x轴于G．则S_△ACD=S_△ADH+S_{四边形HDCG}-S_△ACG，进而求出D点坐标；
（3）由D点坐标，可求得DE的长，当DE为边时，根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2，从而可求得P点坐标；当DE为对角线时，可知P点为抛物线的顶点，可求得P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过B、C二点，且B（4，0），C（2，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{4+2b+c=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式：y=x²-3x-4，
∵抛物线y=x²-3x-4经过点A，且点A在x轴上
∴x²-3x-4=0，解得：x₁=-1或x₂=4（舍去）
∴点A的坐标（-1，0）；

（2）如图1，过D作DH垂直x轴于H，CG垂直x轴于G．
∵点D（m，n）（-1＜m＜2），C（2，-6）
∴点H（m，0），点G（2，0）．
则S_△ACD=S_△ADH+S_{四边形HDCG}-S_△ACG，
=$\frac{1}{2}$|n|（m+1）+$\frac{1}{2}$（|n|+6）（2-m）-$\frac{1}{2}$（|-1|+2）×|-6|
=$\frac{3}{2}$|n|-3m-3，
∵点D（m，n）在抛物线图象上，
∴n=m²-3m-4，
∵-1＜m＜2，即m²-3m-4＜0
∴|n|=4+3m-m²，
∵△ACD的面积为：$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{3}{2}$（4+3m-m²）-3m-3=$\frac{27}{8}$
即4m²-4m+1=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴D（$\frac{1}{2}$，$-\frac{21}{4}$）．

（3）能．理由如下：
∵y=x²-3x-4=${（x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{25}{4}$，
∴抛物线的对称轴l为$x=\frac{3}{2}$．
∵点D关于l的对称点为E，
∴E（$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），∴DE=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2．
①当DE为平行四边形的一条边时，如图2：
则PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴点P的横坐标为$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$或$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$．
∴点P的纵坐标为（$\frac{7}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$=-$\frac{9}{4}$．
∴点P的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
②当DE为平行四边形的一条对角线时，对角线PQ、DE互相平分，由于Q在抛物线对称轴上，对称轴l垂直平分DE，因此点P在对称轴与抛物线的交点上，即为抛物线顶点（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
综上所述，存在点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．

点评 本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（3）中求得D点的坐标从而求得DE的长是解题的关键．