Question

8．如图，?ABCD中，点E、F为对角线AC的三等分点，顺次连接点B、E、D、F．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若∠ABF=90°，tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点O，只要证明OD=OB，OE=OF即可．
（2）延长DE交AB于M．由tan∠BAF=$\frac{FB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AE=EF=$\sqrt{5}$，设BF=a，AB=2a，在RT△ABF中利用勾股定理求出a，由DM∥BF，DE=BF=2得∠DMA=∠ABF=90°，由AE=EF，EM∥AB得AM=MB=2，所以EM=$\frac{1}{2}$BF=1，DM=3，在RT△ADM中利用勾股定理可以求出AD．

解答 （1）证明：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=EF=FC，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：延长DE交AB于M．
在RT△ABF中，∵tan∠BAF=$\frac{FB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AE=EF=$\sqrt{5}$，设BF=a，AB=2a，
∴（2$\sqrt{5}$）²=a²+（2a）²，
∵a＞0，
∴a=2，
∴AB=4，BF=2，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DM∥BF，DE=BF=2，
∴∠DMA=∠ABF=90°，
∵AE=EF，EM∥AB，
∴AM=MB=2，
∴EM=$\frac{1}{2}$BF=1，DM=3，
在RT△ADM中，∵AM=2，DM=3，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角函数、中位线的性质等知识，灵活运用知识是解决问题的关键，本题的突破点的构造直角三角形利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．