Question

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，连接半径，由角平分线得：∠BAE=∠CAE，圆周角相等，则弧相等，再由垂径定理证明OE⊥BC，所以OE⊥l，直线l与⊙O相切；
（2）证明∠EBF=∠EFB，根据等角对等边得结论．

解答 解：（1）直线l与⊙O相切，理由是：
如图，连接OE、OB、OC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BOE=∠COE，
∵OB=OC，
∴OE⊥BC，
∵l∥BC，
∴OE⊥l，
∴直线l与⊙O相切；
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，
∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系、垂径定理、等腰三角形的性质和判定以及圆心角、圆周角和弧的关系，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．