Question

11．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；　
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠∠CBD，由∠AEC=∠BEF，即可推出∠BFE=∠ACE=90°．
（2）如图2中，只要证明△ACE≌△BCD，推出∠1=∠2，由∠3=∠4，即可推出∠BFA=∠BCA=90°．
（3）如图3中，只要证明△ACE≌△BCD，推出S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，推出$\frac{1}{2}$•AE•CN=$\frac{1}{2}$•BD•CM，推出CM=CN，因为CM⊥BD，CN⊥AE，即可推出CF平分∠BFE，
由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠∠CBD，∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．

（2）证明：如图2中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．

（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∴$\frac{1}{2}$•AE•CN=$\frac{1}{2}$•BD•CM，
∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线利用面积法证明线段相等，属于中考压轴题．