Question

已知：如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点C落在直线AB上，
（1）当折叠后C恰和点A重合时（如图1），求证：四边形AECF为菱形；
（2）若折叠后C落在BA的延长线上P处（如图2），且AP=2，AB=4，AD=8，求折痕EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）根据折叠的性质得点O为矩形的对称中心，EF⊥AC，再利用中心对称的性质得OE=OF，即AC与EF互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）作EH⊥AD于H，则EH=AB=4，在Rt△PBC中，BC=8，PB=PA+AB=6，利用勾股定理计算出PC=10，然后证明Rt△EFH∽Rt△CPB，再利用相似比可计算出EF．

解答：（1）证明：如图1，
∵矩形纸片ABCD折叠，使点C和点A重合，
∴点O为矩形的对称中心，EF⊥AC，
∴OE=OF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：作EH⊥AD于H，如图2，
∴四边形ABEH为矩形，
∴EH=AB=4，
在Rt△PBC中，BC=8，PB=PA+AB=2+4=6，
∴PC=

PB2+BC2

=10，
∵∠1+∠EFH=90°，∠P+∠2=90°，
而∠1=∠2，
∴∠EFH=∠P，
∴Rt△EFH∽Rt△CPB，
∴

EF

PC

=

EH

BC

，即

EF

10

=

4

8

，
∴EF=5．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质、菱形的判定和相似三角形的判定与性质．