如图.在平面直角坐标系中.四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形.点A.B在x轴上.△MBC是边长为2的等边三角形.过点M作直线l与x轴垂直.交⊙M于点E.垂足为点M.且点D平分$\widehat{AC}$．(1)求过A.B.E三点的抛物线的解析式,(2)求证:四边形AMCD是菱形,(3)请问在抛物线上是否存在一点P.使得△ABP的面积等于定值5?若存在.请求出所有的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分$\widehat{AC}$．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；
（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=$\frac{1}{2}$∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．

解答（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（-3，0），B（1，0），E（-1，-2），
抛物线顶点E的坐标为（-1，-2），
设函数解析式为y=a（x+1）²-2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）²-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故二次函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2；

（2）证明：连接DM，
∵△MBC为等边三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD=$\frac{1}{2}$∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；

（3）解：存在．
理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB|n|，AB=4
∴$\frac{1}{2}$×4×|n|=5，
即2|n|=5，
解得：n=±$\frac{5}{2}$，
当$n=\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{2}$（m+1）²-2=$\frac{5}{2}$，
解此方程得：m₁=2，m₂=-4
即点P的坐标为（2，$\frac{5}{2}$），（-4，$\frac{5}{2}$），
当n=-$\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{2}$（m+1）²-2=-$\frac{5}{2}$，
此方程无解，
故所求点P坐标为（2，$\frac{5}{2}$），（-4，$\frac{5}{2}$）．