题目内容

已知二次函数y=x2-mx+m-2．
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
（1）证明：令y=0，则x2-mx+m-2=0，
∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，（1分）
又∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即△＞0．
∴无论m为任何实数，一元二次方程x2-mx+m-2=0总有两不等实根；
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．（2分）

（2）∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3，6），
∴32-3m+m-2=6，
解得m=
1
2
；
∴二次函数的解析式为y=x2-
1
2
x-
3
2
．（3分）

（3）将y=x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y=x-2，（4分）
解方程组
y=x-2
y=x2-
1
2
x-
3
2
，
得
x1=
1
2
y1=-
3
2
，
x2=1
y2=-1
；
∴直线y=x-2与抛物线y=x2-
1
2
x-
3
2
的交点为A(
1
2
，-
3
2
)
，&B(1，-1)
；
∴点A关于对称轴x=
1
4
的对称点是A′(0，-
3
2
)，
点B关于x轴的对称点是B'（1，1），设过点A'、B'的直线解析式为y=kx+b；
∴
b=-
3
2
k+b=1
，
k=
5
2
b=-
3
2
，
∴直线A'B'的解析式为y=
5
2
x-
3
2
；
∴直线A'B'与x轴的交点为F(
3
5
，0)（5分）
与直线x=
1
4
的交点为E(
1
4
，-
7
8
)（6分）
则点E(
1
4
，-
7
8
)、F(
3
5
，0)为所求；
过点B'做B'H⊥AA'的延长线于点H，
∴B′H=
5
2
，HA'=1；
在Rt△A'B'H中，A′B′=
B′H2+A′H2
=
29
2
，
∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A'B'=
29
2
．（7分）
练习册系列答案
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