Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）把三点代入抛物线解析式

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

，
即得：

a=-1 b=2 c=3

，
所以二次函数式为y=-x²+2x+3；

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则顶点P（1，4），
由B，C两点坐标可求直线BC解析式为y=-x+3，
设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b′，
将点P（1，4）代入，得y=-x+5，
则过点P与直线BC平行的直线与抛物线联立，有则存在点Q，
-x²+2x+3=-x+5，
即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直线则得点（1，4）或（2，3），
已知点P（1，4），
所以点Q（2，3），
由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，
设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y=-x+f，
将P′代入，得y=-x+1，
联立

y=-x+1 y=-x2+2x+3

，解得

x= 3- 17 2 y= -1+ 17 2

或

x= 3+ 17 2 y= -1- 17 2

，
∴Q（2，3）或（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）或Q（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；

（3）由题意求得直线BC代入x=1，则y=2，
∴M（1，2），
由点M，P的坐标可知：
点R存在，即过点M平行于x轴的直线，
则代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-

2

（在对称轴的左侧，舍去），x=1+

2

，
即点R（1+

2

，2）．