Question

10．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，进而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；
（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案．

解答 （1）证明：连接FO，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF．
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCG=∠FCE．
∴∠OFC=∠FCG．
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDG=90°，
又∵FG∥ED，
∴∠FGC=180°-∠EDG=90°，
∴∠GFC+∠FCG=90°
∴∠GFC+∠OFC=90°，
即∠GFO=90°，
∴OF⊥GF，
又∵OF是⊙O半径，
∴FG与⊙O相切．

（2）解：延长FO，与ED交于点H，
由（1）可知∠HFG=∠FGD=∠GDH=90°，
∴四边形FGDH是矩形．
∴FH⊥ED，
∴HE=HD．
又∵四边形FGDH是矩形，FG=HD，
∴HE=FG=4．
∴ED=8．
∵在Rt△OHE中，∠OHE=90°，
∴OH=$\sqrt{O{E}^{2}-H{E}^{2}}$=3．
∴FH=FO+OH=5+3=8．
S_{四边形FGDH}=$\frac{1}{2}$（FG+ED）•FH=$\frac{1}{2}$×（4+8）×8=48．

点评 此题主要考查了切线的判定以及矩形的判定与性质，得出HO的长是解题关键．