题目内容
19．已知x1，x2是一元二次方程x2+4x-3=0的两个实数根，求下列各式的值．（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
（2）（x1-1）（x2-1）
（3）（x1-x2）2
（4）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$．
分析 根据根与系数的关系得x1+x2=-4，x1x2=-3，利用代数式变形分别得到$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，然后利用整体代入的方法计算．
解答 解：根据题意得x1+x2=-4，x1x2=-3，
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-4）^{2}-2×（-3）}{-3}$=-$\frac{22}{3}$；
（2）（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-3+4+1=2；
（3）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-4）2-4×（-3）=28；
（4）$\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（-4）^{2}-2×（-3）}{（-3）^{2}}$=$\frac{22}{9}$．
点评 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1x2=$\frac{c}{a}$．
字词句段篇系列答案
已知有理数a、b．c在数轴上的位置如图所示．