Question

已知二次函数y=x²-（2k+1）x+k²-2的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴的交点C在y轴负半轴上，若A，B两点到原点的距离分别为AO，BO，且满足2（BO-AO）=3AO•BO，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：根据抛物线与y轴的交点C在y轴负半轴上，抛物线开口向上，得出A在x轴的负半轴，B在x轴的正半轴，再设A（x₁，0），B（x₂，0），则OA=-x₁，OB=x₂，得出x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，再根据2（BO-AO）=3AO•BO，列出方程2（2k+1）=-3（k²-2），求解即可．

解答：解：∵抛物线与y轴的交点C在y轴负半轴上，且抛物线开口向上，
∴A、B必在原点两侧．
∵点A在点B的左边，
∴A在x轴的负半轴，B在x轴的正半轴．
设A（x₁，0），B（x₂，0），则OA=-x₁，OB=x₂．
x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²-2，
∵2（BO-AO）=3AO•BO，
∴2（x₂+x₁）=-3x₁x₂；
∴2（2k+1）=-3（k²-2），解得：k₁=-2，k₂=

2

3

．
∵抛物线与y轴的交点C在y轴负半轴上，
∴k=-2不合题意，
∴k=

2

3

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，用到的知识点是抛物线与x轴的交点、根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系列出方程．