题目内容

9．已知抛物线L的解析式为y=ax2-11ax+24a（a＜0），如图1抛物线L与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线L上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）连接OA，若OA=AC．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，点M为抛物线LA、C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′．设四边形AMCM′的面积为S．试确定S与m之N的函数关系式，并求出当m为何值时．S有最大值，最大值为多少？

分析 （1）通过解方程ax2-11ax+24a=0可得到B点和C点坐标；
（2）①作AD⊥BC于D，如图1，先利用等腰三角形的性质OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4，则BD=1，再证明Rt△ABD∽Rt△CAD，利用相似比计算出AD，从而得到A（4，2），然后把A坐标代入y=ax2-11ax+24a中求出a的值，则可得到得抛物线解析式；
②作AD⊥BC于D，如图2，设M（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12），利用折叠的性质可判断M点和M′关于x轴对称，设MM′交x轴于点E，则MM′=2ME=-m2+11m-24，根据三角形面积公式，利用S=S△AMM′+S△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′得到S=-2m2+22m-48，然后根据二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）当y=0时，ax2-11ax+24a=0，解得x1=3，x3=8，
而点B在点C的左侧，
所以B（3，0），C（8，0）；
（2）①作AD⊥BC于D，如图1，
∵AO=AC，
∴OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4，
∴BD=OD-OB=4-3=1，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠ACB=90°，
而∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴BD：AD=AD：CD，即1：AD=AD：4，解得AD=2，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y=ax2-11ax+24a得16a-44a+24a=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{11}{2}$x-12；
②作AD⊥BC于D，如图2，设M（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12），
∵抛物线L沿x轴翻折后得抛物线L′，且过点M作x轴的垂线h与抛物线L′交于点M′，
∴M点和M′关于x轴对称，
MM′交x轴于点E，
∴MM′=2ME=-m2+11m-24，
∴S=S△AMM′+S△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′=$\frac{1}{2}$•4•（-m2+11m-24）=-2m2+22m-48=-2（m-$\frac{11}{2}$）2+$\frac{25}{2}$，
当x=$\frac{11}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；理解坐标与图形的性质；会利用相似三角形的知识求线段的长．

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