Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C（0，4）；
（2）设经过A，B两点的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-5）²+k，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AM，MC，设MF交x轴于点D，由M点的坐标可求得MC、MD的长，可求得C点坐标，在Rt△ADM中可求得AD，则容易求得A、B坐标；
（2）由A点坐标可求得抛物线解析式，则可求得MF的长，由勾股定理的逆定理可判定△AMF为直角三角形，则可证得结论；
（3）可设P点坐标为（5，t），则可表示出PB、CP、结合BC的长，当△PBC为等腰三角形时，则有PB=BC和CP=BC两种情况，分别可得到关于t的方程，可求得t的值中，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）如图，连接AM，MC，设MF交x轴于点D，

∵⊙M与y轴相切于点C，
∴MC⊥y轴，
∵M（5，4），
∴MC=MA=OD=5，MD=4，
∴C（0，4），
在Rt△ADM中，由勾股定理可得AD=3，
∴OA=OD-AD=5-3=2，OB=OD+BD=OD+BD=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0），
故答案为：2；0；8；0；0；4；
（2）把A点坐标代入抛物线解析式，可得0=$\frac{1}{4}$（2-5）²+k，解得k=-$\frac{9}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-5）²-$\frac{9}{4}$，
∴F（5，-$\frac{9}{4}$），
∴MF=4-（-$\frac{9}{4}$）=$\frac{25}{4}$，AF=$\sqrt{（2-5）^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴AF²+MA²=（$\frac{15}{4}$）²+5²=$\frac{625}{16}$=（$\frac{25}{4}$）²=MF²，
∴△AMF为直角三角形，其中MA⊥AF，
∴直线FA与⊙M相切；
（3）∵P点在抛物线的对称轴上，
∴可设P点坐标为（5，t），
∵C（0，4），B（8，0），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{{5}^{2}+（t-4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-8t+41}$，PB=$\sqrt{（5-8）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+9}$，
∵△PBC为等腰三角形，且P在抛物线的对称轴上，
∴有PB=BC或PC=BC两种情况，
①当PB=BC时，则$\sqrt{{t}^{2}-8t+41}$=4$\sqrt{5}$，解得t=4+$\sqrt{55}$（大于0，在x轴上方，舍去）或t=4-$\sqrt{55}$，此时P点坐标为（5，4-$\sqrt{55}$）；
②当PC=BC时，则$\sqrt{{t}^{2}+9}$=4$\sqrt{5}$，解得t=$\sqrt{71}$＞0舍去，或t=-$\sqrt{71}$，此时P点坐标为（5，-$\sqrt{71}$）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（5，4-$\sqrt{55}$）或（5，-$\sqrt{71}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得F点的坐标，求得MF、AF的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．