Question

13．如图，在直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于点B（2，0），点P是线段AC的一个动点，点Q是抛物线在第二象限图象上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若线段PQ∥y轴，当以线段PQ为对角线的正方形PMQN的面积是△AOC面积的$\frac{1}{4}$时，求Q点的坐标；
（3）在点P、Q运动过程中，是否存在以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设Q点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），表示出点P的坐标，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
（3）根据相似三角形的性质定理得到比例式，解答即可．

解答 解：（1）对于y=x+4，
x=0时，y=4，点C的坐标为（0，4），
y=0时，x=-4，点A的坐标为（-4，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）设Q点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4），
则点P的坐标为（m，m+4），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（m+4）=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
由题意得，$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²-2m）²=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×4×4，
整理得，-$\frac{1}{2}$m²-2m=±2，
∵点Q在第二象限图象上，
∴-$\frac{1}{2}$m²-2m=2，-$\frac{1}{2}$m²-2m-2=0，
则（m+2）²=0，
解得，m₁=m₂=-2，
-$\frac{1}{2}$m²-m+4=4，
∴Q点的坐标为（-2，4）；
（3）作CE⊥PQ于E，
设P点的坐标为（n，n+4），则Q点的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²-n+4），
∵△PQC∽△ABC，
∴$\frac{CE}{OC}$=$\frac{PQ}{AB}$，即$\frac{-n}{4}$=$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}-2n}{6}$，
解得，n=-1，
n+4=3，
则P点的坐标为（-1，3）．

点评 本题考查的是二次函数的知识的综合应用、相似三角形的判定和性质、待定系数法的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．