题目内容
18．【回顾】我们学习了三角形的全等，知道了判定两个三角形全等的基本事实有“SAS”、“ASA”、“SSS”，以及由事实得到的推论“AAS，我们还得到一个定理“HL”，下面对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【思考】我们将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【探究】
（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道△ABC≌△DEF
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，求证：△ABC≌△DEF（请你继续完成证明过程）．
证明：如图，过C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，即在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF与△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？（请直接写出结论）
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
分析 （1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
解答 （1）解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
所以根据“HL“，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABC=∠DEF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：第三种情况：如图所示：
以C为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D；
则DF=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．| A． | $\frac{1}{7}$ | B． | $\sqrt{9}$ | C． | 0.101001 | D． | $\frac{π}{5}$ |
如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为5米，高BC为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要7米．