Question

【题目】如图（1），在矩形中，分别是的中点，作射线，连接.

（1）请直接写出线段与的数量关系；

（2）将矩形变为平行四边形，其中为锐角，如图（2），，分别是的中点，过点作交射线于点，交射线于点，连接，求证：；

（3）写出与的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）MD＝MC；（2）见解析；（3）∠BME＝3∠AEM，证明见解析.

【解析】

（1）由“SAS”可证△ADM≌△BCM，可得MD＝MC；

（2）由题意可证四边形ADNM是平行四边形，可得AD∥MN，可得EF＝FC，MF⊥EC，由线段垂直平分线的性质可得ME＝MC；

（3）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠BME＝3∠AEM．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，

∵点M是AB中点，

∴AM＝BM，

∴△ADM≌△BCM（SAS），

∴MD＝MC；

（2）∵M、N分别是AB、CD的中点，

∴AM＝BM，CN＝DN，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴DN＝AM＝CN＝BM，

∴四边形ADNM是平行四边形，

∴AD∥MN，

∴，∠AEC＝∠NFC＝90°，

∴EF＝CF，且MF⊥EC，

∴ME＝MC；

（3）∠BME＝3∠AEM，

证明：∵EM＝MC，EF＝FC，

∴∠EMF＝∠FMC，

∵AB＝2BC，M是AB中点，

∴MB＝BC，

∴∠BMC＝∠BCM，

∵MN∥AD，AD∥BC，

∴AD∥MN∥BC，

∴∠AEM＝∠EMF，∠FMC＝∠BCM，

∴∠AEM＝∠EMF＝∠FMC＝∠BCM＝∠BMC，

∴∠BME＝3∠AEM.