如图.已知双曲线y1=$\frac{k}{x}$经过点D(6.1).点C是双曲线第三象限分支上的动点.过点C作CA⊥x轴.过点D作BD⊥y轴.垂足分别为A.B.连接AB.BC．(1)求k的值,(2)若△BCD的面积为12.①若直线CD的解析式为y2=ax+b.求a.b的值,②根据图象.直接写出y1＞y2时x的取值范围,③判断直线AB与CD的位置关系.并说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，已知双曲线y₁=$\frac{k}{x}$经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作BD⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，
①若直线CD的解析式为y₂=ax+b，求a、b的值；
②根据图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围；
③判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．

分析（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）①先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
②根据图象即可得到y₁＞y₂时x的取值范围；
③根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数由法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点D（6，1），
∴$\frac{k}{6}$=1，
解得k=6；

（2）①设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×6•h=12，
解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，
∴$\frac{6}{x}$=-3，
解得x=-2，
∴点C的坐标为（-2，-3），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=-3}\\{6a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$；
②由图象知当x＜-2或0＜x＜6时，y₁＞y₂，
③AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，$\frac{6}{c}$），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{mc+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{c}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以，直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{c}$x+1，
设直线CD的解析式为y=ex+f，
则$\left\{\begin{array}{l}{ec+f=\frac{6}{c}}\\{6e+f=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{1}{c}}\\{f=\frac{c+6}{c}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{c}$x+$\frac{c+6}{c}$，
∵AB、CD的解析式k都等于-$\frac{1}{c}$，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．