Question

3．如图，点P是菱形ABCD的对角线DB的延长线上一点，连接PC并延长，交AD的延长线于E，AB的延长线交PC于点F．
（1）证明：①△PAB≌△PCB；②△PAF∽△PEA；
（2）若菱形ABCD的边长为3，AP=6，FP=2，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）①由菱形的对角线平分对角得出∠ABD=∠CBD，因此∠ABP=∠CBP，再根据SAS即可证明结论；
②先证明∠PFA=∠PAE，再由公共角即可证出结论；
（2）先由△PAF∽△PEA，得出比例式$\frac{PF}{AP}=\frac{AP}{PE}$，求出PE，得出CE、EF，再由平行线得出比例式$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{CF}$，即可求出AE．

解答 （1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∴∠ABP=∠CBP，
在△PAB和△PCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{BP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB（SAS）；
②∵△PAB≌△PCB，∠PAB=∠PCB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，DC∥AF，
∴∠PAE=∠PCD，∠PCD=∠PFA，
∴∠PFA=∠PAE，
又∵∠APF=∠EPA，
∴△PAF∽△PEA；
（2）解：∵△PAB≌△PCB，
∴CP=AP=6，
∴CF=6-2=4，
∵△PAF∽△PEA，
∴$\frac{PF}{AP}=\frac{AP}{PE}$，即$\frac{2}{6}=\frac{6}{PE}$，
∴PE=18，
∴CE=18-6=12，EF=16，
∵DC∥AF，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EF}{CF}$，即$\frac{AE}{3}=\frac{16}{4}$，
∴AE=12．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；证明全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．