Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E从点C开始沿边CD以1cm/s的速度向点D移动，点F从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，如果EF同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）．当t为何值时，以A，B，F为顶点的三角形与以E，F，C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 分类讨论：△ABF△∽△ECF，△ABF∽△FCE，根据比例的性质，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：由题意，得BF=2t，EC=t，FC=6-2t，
当△ABF△∽△ECF时，$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BF}{FC}$，即$\frac{3}{t}$=$\frac{2t}{6-2t}$，解得t=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$，t=$\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$（不符合题意要舍去），
当△ABF∽△FCE时，$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BF}{CE}$，即$\frac{3}{6-2t}$=$\frac{2t}{t}$，解得t=$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{9}{4}$，t=$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$时，以A，B，F为顶点的三角形与以E，F，C为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了相似三角形，利用相似三角形的性质的出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．