Question

如图所示，在半径为R的⊙O中，作直径AB、CD互相垂直，并把圆分成四个面积相等的扇形，在⊙O左上角的扇形OAC内再作⊙O₁，使其与半径OA、OC和弧AC都相切；依此法继续作⊙O₂、⊙O₃…，请问所作的⊙O₁的半径是

 

；那么⊙O_n的半径又是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：规律型

分析：作O₁M⊥OA于M，O₁N⊥OC于N，作O₂P⊥O₁N于P，O₂Q⊥O₁M于Q，如图，设⊙O₁的半径为R₁，⊙O_，2的半径为R₂，⊙O_n的半径为R_n，根据⊙O₁与半径OA、OC和弧AC都相切得到O₁M=O₁N=O₁F=R₁，点O、O₁和E共线，则四边形OMO₁N为正方形，利用OE=OO₁+O₁E，OO₁=

2

O₁M得到

2

R₁+R₁=R，解得R₁=（

2

-1）R，同理可得R₂=（

2

-1）R₁，所以R₂=（

2

-1）²R，按此规律即可得到R_n=（

2

-1）ⁿR．

解答：解：作O₁M⊥OA于M，O₁N⊥OC于N，作O₂P⊥O₁N于P，O₂Q⊥O₁M于Q，如图，设⊙O₁的半径为R₁，⊙O_，2的半径为R₂，⊙O_n的半径为R_n，
∵⊙O₁与半径OA、OC和弧AC都相切，
∴O₁M=O₁N=O₁F=R₁，点O、O₁和E共线，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90°，
∴四边形OMO₁N为正方形，
∵OE=OO₁+O₁E，
而OO₁=

2

O₁M，
∴

2

R₁+R₁=R，
∴R₁=（

2

-1）R，
同理可得O₂E=O₁O₂+O₂E，
∴

2

R₂+R₂=R₁，
∴R₂=（

2

-1）R₁，
∴R₂=（

2

-1）²R，
…，
∴R_n=（

2

-1）ⁿR．
故答案为（

2

-1）R，（

2

-1）ⁿR．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线性质、两圆相切的性质和等腰直角三角形的性质．