Question

8．如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：
（1）AB+CD＜AC+BD；
（2）AC+BD＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+AD）．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形三边关系得出AO+BO＞AB，CO+DO＞DC，进而得出答案；
（2）利用（10中所求即可得出2（AC+BD）＞AB+BC+CD+AD，进而得出答案．

解答 证明：（1）∵在△ABO和△COD中，
AO+BO＞AB，CO+DO＞DC，
∴AO+CO+BO+DO＞AB+DC，
即AB+CD＜AC+BD；

（2）由（1）得：AB+CD＜AC+BD，
同理可得：AD+BC＜AC+BD，
则2（AC+BD）＞AB+BC+CD+AD，
故AC+BD＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+AD）．

点评 此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系是解题关键．