Question

7．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，三角板斜边交BC于点D，直角边交BC于点E，在BC边上取一点M，连接AM．
（1）若∠BAD=∠DAM，求证：∠CAE=∠EAM；
（2）在（1）的条件下，线段BD、CE、DE之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出这个数量关系，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质和已知条件即可得出结论；
（2）延长AM到点F，使AF=AB，连接DF、EF．由SAS证明△ABD≌△AFD，得出BD=FD，∠AFD=∠B=45°． 同理FE=CE，∠AFE=∠C=45°． 证出∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，由勾股定理得出DF²+FE²=DE²，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=∠DAM+∠EAM=45°． 
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠CAE=∠EAM． 
（2）解：BD²+CE²=DE²；理由如下：
延长AM到点F，使AF=AB，连接DF、EF．
由（1）可知，∠BAD=∠FAD，∠CAE=∠FAE．
在△ABD和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}&{\;}\\{∠BAD=∠FAD}&{\;}\\{AD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD=FD，∠AFD=∠B=45°． 
同理FE=CE，∠AFE=∠C=45°． 
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
∵在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；证明三角形全等是解决问题的关键．