Question

15．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 作DQ⊥BC于Q，如图，易得四边形DPBQ为矩形，再证明△ADP≌△CDQ得到DP=DQ，S_△ADP=S_△CDQ，则可判断四边形DPBQ正方形，四边形DPCQ的面积=四边形ABCD，然后根据正方形的面积公式计算DP的长．

解答 解：作DQ⊥BC于Q，如图，
∵DP⊥AB，∠B=90°，∠DQB=90°，
∴四边形DPBQ为矩形，
∵∠ADC=90°，
即∠ADP+∠PDC=90°，
而∠QDC+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠CQD}\\{∠ADP=∠CDQ}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，S_△ADP=S_△CDQ，
∴四边形DPBQ正方形，四边形DPCQ的面积=四边形ABCD，
∴DP=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．