Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，tanA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；
（2）由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形AOCD是菱形．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵tanA=$\sqrt{3}$，
∴∠A=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=∠AOD=60°，
∵CD∥AB，
∴∠ODC=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°=∠ADO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：四边形AOCD是菱形；理由如下：
由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，
∴OA=AD=OD=CD=OC，
∴四边形AOCD是菱形．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角函数、菱形的判定；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．