Question

9．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，线段OD与⊙O交于点E，延长AE交BD于点C，∠D=30°，AB=4．
（1）求弦AE的长；
（2）求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）连接BE，根据切线的性质求出∠ABD=90°，求出BE=OB=2，△OEB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠EOB=60°，BE=OB=2，根据勾股定理求出即可；
（2）分别求出△BEC、△EOB和扇形EOB的面积，即可得出答案．

解答 解：（1）连接BE，

∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OB=OE=OA，直径AB=4，
∴BE=OB=2，△OEB是等边三角形，
∴∠EOB=60°，BE=OB=2，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（2）∵∠EOB=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}∠EOB$=30°，
∴在Rt△ABC中，cosA=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC=$\frac{AB}{cos30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵S_△BCE=$\frac{1}{2}BE×EC$=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△EOB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
S_扇形EOB=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_△BCE+S_△EOB-S_扇形EOB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}-2π}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出△EOB是等边三角形是解此题的关键．