Question

如图所示，PA、PB为⊙O的切线，M、N是PA、AB的中点，连接MN交⊙O点C，连接PC交⊙O于D，连接ND交PB于Q，求证：MNQP为菱形．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的判定

专题：证明题

分析：首先连接OA，OB，OC，OD，OP．由M、N是PA、AB的中点，根据三角形中位线的性质，可得MN∥BP，又由PA、PB为⊙O的切线，可得AB⊥OP，即可证得MN=PM，然后由射影定理与切割线定理证得O，C，D，N四点共圆，继而证得MP∥NQ，则可得四边形MNQP是平行四边形，证得四边形MNQP是菱形．

解答：证明：连接OA，OB，OC，OD，OP．
∵AN=NB，AM=MP．
∴MN∥BP．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴AB⊥OP．
∴NM=MP，∠MNP=∠MPN，
在Rt△AOP中，由射影定理，得AP²=PN•PO，
由切割线定理，得AP² =PD•PC，
∴PN•PO=PD•PC，
∴O，C，D，N四点共圆，
∴∠PND=∠OCD，∠ONC=∠ODC，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠MNP=∠ONC，
∴∠MNP=∠PND=∠MPN，
∴MP∥NQ，
∴四边形MNQP是平行四边形，
∴四边形MNQP是菱形．

点评：此题考查了切线的性质、三角形中位线的性质、射影定理、切割线定理以及菱形的判定．此题难度较大，综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．