如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.AD=12cm.CD=8cm.BC=BD=20cm.点P由B出发沿BD方向匀速运动.速度为2cm/s,同时.线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动.速度为2cm/s.交BD于Q.连接PE．若设运动时间为t．解答下列问题:(1)当PE∥AB时.t为何值,(2)连接PF.在上述运动过程中.五边形PFCDE的面积是否发生变化?说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，CD=8cm，BC=BD=20cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当PE∥AB时，t为何值；
（2）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由；
（3）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并直接写出S_△PEQ=$\frac{3}{25}$S_△BCD时t的值．

分析（1）当PE∥AB时，得 $\frac{DE}{DA}$=$\frac{DP}{DB}$，列出方程即可解决问题．
（2）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD，即五边形的面积不变．
（3）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，由△DEQ∽△BCD，得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EQ}{CD}$，求出QE，由△PNQ∽△BMD，得 $\frac{PQ}{BD}$=$\frac{PN}{BM}$，求出PN，根据S_△PEQ=$\frac{1}{2}$EQ•PN，列出式子即可，最后一个问题列方程解决．

解答解：（1）当PE∥AB时，
∴$\frac{DE}{DA}$=$\frac{DP}{DB}$，
而DE=2t，DP=20-2t，
∴$\frac{2t}{12}$=$\frac{20-2t}{20}$，
∴t=$\frac{15}{4}$，
∴当t=$\frac{15}{4}$（s），PE∥AB．

（2）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=2t，PD=BF=20-2t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五边形PFCDE}=S_△PDE+S_{四边形PFCD=}S_△FBP+S_{四边形PFCD}=S_△BCD．
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

（3）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=4cm，
∴BM=$\sqrt{2{0}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{6}$cm，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BM=$\frac{1}{2}$×8×8$\sqrt{6}$=32$\sqrt{6}$，
∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EQ}{CD}$，
∴$\frac{2t}{20}$=$\frac{EQ}{8}$，
∴EQ=$\frac{4}{5}$t．
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=2t，
∴PQ=20-4t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴$\frac{PQ}{BD}$=$\frac{PN}{BM}$．
∴$\frac{20-4t}{20}$=$\frac{PN}{8\sqrt{6}}$．
∴PN=8$\sqrt{6}$（1-$\frac{t}{5}$）．
∴S_△PEQ=$\frac{1}{2}$EQ•PN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$t•8$\sqrt{6}$（1-$\frac{t}{5}$）=-$\frac{16\sqrt{6}}{25}$t²+$\frac{16\sqrt{6}}{5}$t．
∵S_△PEQ=$\frac{3}{5}$S_△BCD，
则有-$\frac{16\sqrt{6}}{25}$t²+$\frac{16\sqrt{6}}{5}$t=$\frac{3}{25}$•32$\sqrt{6}$，
解得t₁=2，t₂=3．