Question

4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在第二象限，过点A作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，若点A在直线y=-x上，且OA=3$\sqrt{2}$．
（1）求OB的长；
（2）如图2，设N（0，n）是y轴上一动点，连结AN，作AM⊥AN，交x轴于点M（m，0），
①求m关于n的函数关系式；
②设直线y=-x与直线MN相交于点T，求当OM=$\frac{1}{3}$OB时的T点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到四边形ABOC是正方形，根据正方形的性质得到AB=OB，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BM=CN，于是得到m-（-3）=n-3，即可得到结论；②∵根据已知条件得到M（-1，0），N（0，5），求得直线MN的解析式为：y=5x+5，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵点A作AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∵∠BOC=90°，
∴四边形ABOC是矩形，
∵点A在直线y=-x上，
∴OA平分∠BOC，
∴AB=AC，
∴矩形ABOC是正方形，
∴AB=OB，
∵OA=3$\sqrt{2}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=3；

（2）①∵∠CAB=∠MAN=90°，
∴∠BAM=∠NAC，
在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ACN=90°}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴BM=CN，
即m-（-3）=n-3，
∴n=m+6；
②∵OM=$\frac{1}{3}$OB=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴M（-1，0），N（0，5），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{o=-k+b}\\{5=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=5}\\{\;}\end{array}\right.$
∴直线MN的解析式为：y=5x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=5x+5}\\{y=-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{6}}\\{y=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，
∴T点坐标为（-$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$）．

点评 本题考查了求一次函数的解析式，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求直线的交点坐标，正确的理解题意是解题的关键，