Question

11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2$\sqrt{3}$，延长BA，EF交于点O，以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线EC的交点坐标是（3$\sqrt{3}$，5）．

Answer 1

分析 首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F，E点坐标，进而求出直线DF，EC的解析式，进而求出交点坐标．

解答 解：连接AE，DF，EC，
∵正六边形ABCDEF的边长为2$\sqrt{3}$，延长BA，EF交于点O，
∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2$\sqrt{3}$，
∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4$\sqrt{3}$，
∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4$\sqrt{3}$cos30°=6，
∴F（$\sqrt{3}$，3），D（4$\sqrt{3}$，6），E（2$\sqrt{3}$，6），
同理可得：C点坐标为：（5$\sqrt{3}$，3），
设直线DF的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=3}\\{4\sqrt{3}k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直线DF的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
设直线EC的解析式为：y=ax+c，
$\left\{\begin{array}{l}{5\sqrt{3}a+c=3}\\{2\sqrt{3}a+c=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
故直线EC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+8，
则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+8，
解得：x=3$\sqrt{3}$，
则y=5，
∴直线DF与直线CE的交点坐标是：（3$\sqrt{3}$，5）．
故答案为：（3$\sqrt{3}$，5）．

点评 此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D，E点坐标是解题关键．