Question

9．在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB，
（1）求证：BM=CN．
（2）如果AB=12cm，AC=8cm，则求线段AM的长．

Answer 1

分析 （1）连接DB、DC，求出DB=DC，DM=DN，根据HL证出Rt△DMB≌Rt△DNC即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AM=AN，等量代换即可得到结论．

解答 （1）证明：连接DB、DC，
∵OD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DMB=∠N=90°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；

（2）在Rt△AMD和Rt△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AMD≌Rt△ACN，
∴AM=AN，
∴AM=AB-CN=AB-（AM-AC），
∴AM=10．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．