Question

5．△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，E，F是AC上的动点，EF=$\frac{1}{2}$AC．
（1）若BF⊥AC，求证：CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²；
（2）若BF⊥AC，tan∠CBF=$\frac{1}{3}$，求$\frac{DE}{EF}$的值；
（3）ED，FB的延长线交于点G，GH∥BC交AC的延长线于H，求证：EF=FH

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．只要证明△HCN∽△ACH，可得$\frac{CH}{AC}$=$\frac{CN}{CH}$，推出CH²=CN•CA，再证明CH=$\frac{1}{2}$BC，CN=$\frac{1}{2}$CF，代入即可解决问题；
（2）如图2中，作DH⊥AC于H，设CF=a．在Rt△DEH中，求出DE（用a的代数式表示）即可解决问题；
（3）如图3中，作BM∥AC交EG于M，取AC中点N，连接DN，NM．首先证明四边形MNFB是平行四边形，推出MN=BF，MN∥FG，推出$\frac{EN}{EF}$=$\frac{MN}{FG}$=$\frac{BF}{FG}$，由BC∥GH，推出$\frac{BF}{FG}$=$\frac{FC}{FH}$，推出$\frac{EN}{EF}$=$\frac{FC}{FH}$，再证明EN=CF，即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．

∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH，∠AHC=∠HNC=90°，
∵∠HCN=∠GCA，
∴△HCN∽△ACH，
∴$\frac{CH}{AC}$=$\frac{CN}{CH}$，
∴CH²=CN•CA，
∵HN∥BF，HB=HC，
∴NC=FN，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC，CN=$\frac{1}{2}$CF，
∴（$\frac{1}{2}$BC）²=$\frac{1}{2}$•CF•AC，
∴CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²．

（2）解：如图2中，作DH⊥AC于H，设CF=a．

在Rt△BCF中，∵tan∠CBF=$\frac{1}{3}$，CF=a，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{3}$，BF=3a，
BC²=CF²+BF²=10a²，
∵∴CF•CA=$\frac{1}{2}$BC²，
∴AC=5a，
∴AB=AC=5a，AF=4a，
∵AD=DB，DH∥BF，
∴AH=HF=2a，
∵EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$a，
∴DH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$a，EH=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△DEH中，DE=$\sqrt{E{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

（3）证明：如图3中，作BM∥AC交EG于M，取AC中点N，连接DN，NM．

∵AD=DB，∠ADE=∠MDB，∠A=∠MBD，
∴△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，
∵EF=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=FN，
∴BM=FN，BM∥FN，
∴四边形MNFB是平行四边形，MN=BF，
∴MN∥FG，
∴$\frac{EN}{EF}$=$\frac{MN}{FG}$=$\frac{BF}{FG}$，
∵BC∥GH，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{FC}{FH}$，
∴$\frac{EN}{EF}$=$\frac{FC}{FH}$，
∵EF=NC，
∴EN=CF，
∴EF=FH．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．