Question

12．在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|
（1）若P（1，-2）、Q（2，3），则d（P，Q）=6．
（2）若C（x，y）到点A（1，3）、B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10、0≤y≤10，求所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为5（1+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根据点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，进行计算即可；
（2）根据已知条件可推断出|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．

解答 解：（1）点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∵P（1，-2）、Q（2，3），
∴d（P，Q）=|1-2|+|-2-3|=1+5=6，
故答案为：6；

（2）∵C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，
∴|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|①
当y≥9时，①式化为|x-1|+6=|x-6|，无解；
当y≤3时，①式化为|x-1|=6+|x-6|，无解；
当3≤y≤9时，①式化为2y-12=|x-6|-|x-1|．
若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；
若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5$\sqrt{2}$；
若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．
综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为：1+5$\sqrt{2}$+4=5（1+$\sqrt{2}$），
故答案为：5（1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了轨迹，两点间的距离公式的应用以及含绝对值的方程，解题的关键是通过分类讨论的思想对等式进行化简整理．