Question

15．观察下列勾股数：
①3、4、5，且3²=4+5；
②5、12、13，且5²=12+13；
③7、24、25，且7²=24+25；
④9，b，c，且9²=b+c；
…
（1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=40，c=41．
（2）猜想第n组勾股数，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：c²-b²=9²，进而可得（c-b）（c+b）=81，然后由b+c=81，可求c-b=1，从而可求：b=40，c=41；
（2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，由此规律解决问题．

解答 解：（1）∵由勾股定理得：c²-b²=9²，
∴（c-b）（c+b）=81，
∵b+c=81，
∴c-b=1，
解得：b=40，c=41．
故答案为：40；41；
（2）猜想第n组勾股数为：2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，
∵（2n+1）²+（2n²+2n）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
（2n²+2n+1）²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，
∴（2n+1）²+（2n²+2n）²=（2n²+2n+1）²，
∵n是整数，
∴2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1，是一组勾股数．

点评 此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．