Question

如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是

1

2

弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？说明理由；
（2）当DP是⊙O的切线时，求DP的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB=AC，易得PA是⊙O的直径．继而可得PA⊥BC，然后由BC∥PD，证得DP是⊙O的切线；
（2）连接OB，设PA交BC于点E．由勾股定理，可求得AE的长，易证得△ABE∽△ADP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DP的长．

解答：解：（1）当P是BC中点时，DP是⊙O的切线．
理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直径．
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴PA⊥BC．
∵DP∥BC，
∴PD⊥AP．
∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理得，BE=

1

2

BC=6．
在Rt△ABE中，据勾股定理，AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8．
设⊙O的半径为r，则OE=8-r．
在Rt△OBE中，r²=6²+（8-r）²．
解得r=

25

4

．
∵DP∥BC，
∴∠ABE=∠D．
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP．
∴

BE

DP

=

AE

AP

，
即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
∴DP=

75

8

．

点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．