Question

6．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．如对于任意正实数a、x，可作变形：x+$\frac{a}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$）²+2$\sqrt{a}$，因为（$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$）²≥0，所以x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$（当x=$\sqrt{a}$时取等号）．
记函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=$\sqrt{a}$时，该函数有最小值为2$\sqrt{a}$．
直接应用：已知函数y₁=x（x＞0）与函数y₂=$\frac{9}{x}$（x＞0），则当x=3 时，y₁+y₂取得最小值为6．
变形应用：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．
①求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），当x=$\sqrt{a}$时，该函数有最小值为2$\sqrt{a}$，得到当x=$\sqrt{9}$=3时，y₁+y₂取得最小值为2$\sqrt{9}$=6，
（2）由$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$，得到当x+1=$\sqrt{4}$=2，即：x=1时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值=2$\sqrt{4}$=4；
（3）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．

解答 解：（1）∵对于函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），当x=$\sqrt{a}$时，该函数有最小值为2$\sqrt{a}$，
∴当x=$\sqrt{9}$=3时，y₁+y₂取得最小值为2$\sqrt{9}$=6，

（2）∵$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$，
∴当x+1=$\sqrt{4}$=2，即：x=1时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值=2$\sqrt{4}$=4；

（3）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．
∴y=x×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$，（70≤x≤110）；
根据材料得：当$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$时有最小值，
解得：x=90
∴该汽车的经济时速为90千米/小时；
当x=90时百公里耗油量为100×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{8100}$）≈11.1升．

点评 本题考查了配方法的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．