Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线，切点分别为A、B，EF分别交AC、BD于点E、F，且EO平分∠AEF．
（1）EF与⊙O相切吗？为什么？
（2）设AE=4，BF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）过点O作OH⊥EF于H，如图，根据切线的性质得AB⊥AC，然后根据角平分线的性质得OH=OA，然后根据切线的判定方法可判断EF为⊙O的切线；
（2）过E点作EG⊥BD于G，如图，根据切线的性质得AB⊥BD，则四边形ABGE为矩形，所以EG=AB，BG=AE=4，再根据切线长定理得到EH=EA=4，FH=FB=9，则GF=BF-BG=5，EF=EH+FH=13，
然后在Rt△EGF中利用勾股定理计算出EG即可得到⊙O的半径．

解答 解：（1）EF与⊙O相切．理由如下：
过点O作OH⊥EF于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∵EO平分∠AEF，
而OH⊥EF，
∴OH=OA，
∴EF为⊙O的切线；
（2）过E点作EG⊥BD于G，如图，
∵AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴四边形ABGE为矩形，
∴EG=AB，BG=AE=4，
∵EF为⊙O的切线，
∴EH=EA=4，FH=FB=9，
∴GF=BF-BG=5，EF=EH+FH=13，
在Rt△EGF中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴AB=12，
∴⊙O的半径为6．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．