Question

17．如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，以点A为圆心任意长为半径画弧，与AB，AC分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心大于$\frac{1}{2}$MN长为半径画弧，两弧交于点P，且点P刚好落在边BC上，AB=10cm，下列说法中：
①AB=AD；②AP平分∠BAC；③△PDC的周长是10$\sqrt{2}$cm；④AN=ND，
正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据角平分线做法得出AP平分∠BAC，进而结合全等三角形的判定与性质以及结合等腰直角三角形的性质分别判断得出答案．

解答 解：由题意可得：AP平分∠BAC，则
在△ABP和△ADP中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADP}\\{∠BAP=∠PAD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，故①正确；
由角平分线的做法可得②AP平分∠BAC，故此选项正确；
∵等腰直角△ABC，
∴∠C=45°，则△PDC是等腰直角三角形，
∴DP=DC=DP，
∴③△PDC的周长是：PD+DC+PC=BP+PC+DC=BC+DC=AB+DC=AD+DC=AC=10$\sqrt{2}$cm，故此选项正确．
故选：A．

点评 此题主要考查了角平分线的作法以及等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，根据角平分线的作法得出AP是∠BAC的平分线是解题的关键．