Question

如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD∽△DMA；
（2）连结OD．由三角形中位线的性质得出OD∥AC，MN⊥AC，可得OD⊥MN，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是⊙O的切线．

解答：证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，
∴∠BGD=∠DMA=90°．
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，
∴∠DBG=∠ADM．
在△BGD与△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°，
∠DBG=∠ADM．
∴△BGD∽△DMA；

（2）连结OD．
∵BO=OA，BD=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．

点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．