Question

9．先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知$\frac{3x-4}{{x}^{2}-3x+2}$=$\frac{A}{x-1}$+$\frac{B}{x-2}$，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x-4=A（x-2）+B（x-1），
即：3x-4=（A+B）x-（2A+B），
∴$\left\{\begin{array}{l}A+B=3\\-（2A+B）=-4\end{array}\right.$．
解得      $\left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.$．
解法二：在已知等式中取x=0，有-A+$\frac{B}{-2}$=-2，整理得
2A+B=4；
取x=3，有$\frac{A}{2}$+B=$\frac{5}{2}$，整理得
A+2B=5．
解    $\left\{\begin{array}{l}2A+B=4\\ A+2B=5\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.$．
（1）已知$\frac{11x}{{-3{x^2}-14x+24}}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{4-3x}$，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：
[$\frac{1}{{（x-1）（{x+1}）}}+\frac{1}{（x+1）（x+3）}+\frac{1}{（x+3）（x+5）}+…+\frac{1}{（x+9）（x+11）}$]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．

Answer 1

分析 （1）根据方法一可得11x=A（4-3x）+B（x+6），即11x=（-3A+B）x+（4A+6B），得出$\left\{\begin{array}{l}{-3A+B=11}\\{4A+6B=0}\end{array}\right.$，解之可得答案；
（2）裂项求解可得原式=$\frac{6}{x-1}$，由式子的值为正整数知x-1=1、2、3、6，从而得出答案．

解答 解：（1）等号右边通分、再去分母，得：11x=A（4-3x）+B（x+6），
即11x=（-3A+B）x+（4A+6B），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3A+B=11}\\{4A+6B=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A=-3}\\{B=2}\end{array}\right.$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+5}$+…+$\frac{1}{x+9}$-$\frac{1}{x+11}$）×（x+11）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+11}$）×（x+11）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{（x-1）（x+11）}$×（x+11）
=$\frac{6}{x-1}$，
∵式子的值为正整数，
∴x-1=1、2、3、6，
则x=2、3、4、7．

点评 本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键．