Question

已知：抛物线C₁：y=

1

2

x²-x+

5

2

向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到抛物线C₂：y=

1

2

x²．
（1）求m、n的值；
（2）若A点坐标为（0，1），C为抛物线C₂上的一个动点，以C为圆心CA为半径的圆交x轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作OB⊥OC交抛物线C₂于B．
?①试探究：随C点的运动线段MN的长度是否发生变化？若改变请说明理由，若不变请求出MN的值．
?②连结CD、DB并继续探究：随着C点的运动，B点也随之运动，而C、D、B三点是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用配方法将二次函数化为顶点式，进而利用二次函数图象平移规律得出即可；
（2）①利用在Rt△CED中，由勾股定理得：EN²=CN²-CE²，进而得出MN的值；
②首先求出b=2，即，不论a为何值，直线BC与y轴交于点（0，2），进而得出直线BC必过点D（0，2），B、C、D三点在同一条直线上．

解答：解：（1）配方得：y=

1

2

x²-x+

5

2

=

1

2

（x-1）²+2，
∴抛物线C₁：y=

1

2

x²-x+

5

2

向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线C₂：y=

1

2

x²，
∴m=1，n=2；

（2）①由（1）抛物线C₂为：y=

1

2

x²，
设C（m，

1

2

m²），作CE⊥x轴于E，
由垂径定理得：
EN=

1

2

MN，
∵CN²=CA²=m²+（

1

2

m²-1）²
=

1

4

m⁴+1，
CE²=（

1

2

m²）²=

1

4

m⁴，
在Rt△CED中，由勾股定理得：
EN²=CN²-CE²
=

1

4

m⁴+1-

1

4

m⁴
=1，
∴MN=2EN=2，
即在C点的运动过程中MN始终保持不变．
②C、D、B始终保持在同一直线上，
理由是：
作BF⊥y轴于F，BH⊥x轴于H，CG⊥y轴于G
设C（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²），
∵D、O关于A点对称，
∴D（0，2）
∵∠COB=90°∴∠COE+∠BOH=90°
又∵∠COE+∠ECO=90°，
∴∠ECO=∠BOH，
∴Rt△COE～Rt△OBH，
∴

CE

OH

=

OE

BH

，
∴

1 2 a2

b

=

-a

1 2 b2

，
即：ab=-4，
∴b=

-4

a

，
∴B（b，

b2

2

）即为（

-4

a

，

8

a2

），
设直线BC为：y=kx+m，则：

ka+m= a2 2 -k× 4 a +m= 8 a2

∴

4ka+4b=2a2 -4ka+ba2=8

，
∴b（4+a²）=2（4+a²），
∴b=2，即，不论a为何值，直线BC与y轴交于点（0，2），
即直线BC必过点D（0，2），∴B、C、D三点在同一条直线上．
另解提示：
当B点位置高于C点时，
又∵

BF

CG

=

b

-a

=

4

a2

，
∴

DF

DG

=

1 2 b2-2

2- 1 2 a2

=

b2-4

4-a2

=

4

a2

，

BF

CG

=

DF

DG

，
又∵∠DFB=∠DGC=90°，
∴△CDG∽△BDF，
∴∠CDG=∠FDB，
∴C、D、B共线，
当B点位置低于C点时，同理可得出C、D、B共线，
当∠COD=45°时，OC=OG=OB，∠OGC=∠OGB=90°，C、D、B共线．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质以及二次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．