Question

16．如图，一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象交于A（1，4），B（3，m）两点，
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中计算出k₂=4，从而得到反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，再利用反比例函数解析式确定B（3，$\frac{4}{3}$），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设直线y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$与x轴交于点C，如图，先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△AOB=S_△ACO-S_△BOC进行计算即可．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=1×4=4，
∴反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，
又∵B（3，m）在y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴3m=4，解得m=$\frac{4}{3}$，
∴B（3，$\frac{4}{3}$），
∵A（1，4）和B（3，$\frac{4}{3}$）都在直线y=k₁x+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=4}\\{3{k}_{1}+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$；
（2）设直线y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$与x轴交于点C，如图，
当y=0时，-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解得x=4，则C（4，0），
∴S_△AOB=S_△ACO-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$
=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式和待定系数法求函数解析式．