题目内容

6．如图1所示，直线y=2x+b与x轴交于点E，与y轴交于点A，△AOE的面积为4，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD为边，在第一象限内作等腰Rt△ADC．
（1）求b的值；
（2）若AD=AE，试求点C的坐标；
（3）如图2，设直线AC交x轴于点P，当D点在第一象限内沿直线AE运动时，其他条件不变，P点位置是否发生改变？如果不变，请求出P点坐标；如果改变，请指出P点移动的范围．

分析 （1）依题意可求得点E和点A的坐标为E（-$\frac{b}{2}$，0），A（0，b），根据△AOE的面积=$\frac{1}{2}$|OE|•|OA|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{b}{2}$|•|b|=4，即可求出b的值；
（2）过点D作DF垂直于x轴于F，过点C作CH垂直于DF于H，根据勾股定理求得AE=2$\sqrt{5}$，证明AO为△DEF的中位线，得到OF=OE=2，DF=2OA=2×4=8，又由等腰Rt△ADC中AD=CD，∠ADC=90°，得到CD=2$\sqrt{5}$，直线CD的斜率为-$\frac{1}{2}$，即tan∠DCH=|-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，在Rt△CDH中，求得DH=CD•sin∠DCH=2$\sqrt{5}$•$\frac{1}{\sqrt{5}}$=2，CH=CD•cos∠DCH=2$\sqrt{5}$•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=4，所以点C的x轴坐标为CH+OF=4+2=6，y轴坐标为DF-DH=8-2=6，即可解答；
（3）P点位置不发生改变，根据等腰Rt△ADC中AD=CD，得到∠DAC=45°，由直线y=2x+4可知tan∠AEO=2，结合图2可知直线AC的斜率 k=tan（∠AEO-∠DAC）=$\frac{tan∠AEO-tan∠DAC}{1+tan∠AEO•tan∠DAC}$=$\frac{2-1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$．由（1）知，点A（0，4），所以直线AC的方程为：y=$\frac{1}{3}$x+4，令y=0，求得x=-12，所以点P（-12，0）；由直线AC的方程可知，点P不会随点D的运动而改变．

解答 解：（1）∵y=2x+b，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-$\frac{b}{2}$，
∴点E和点A的坐标为E（-$\frac{b}{2}$，0），A（0，b），
∵△AOE的面积=$\frac{1}{2}$|OE|•|OA|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{b}{2}$|•|b|=$\frac{{b}^{2}}{4}$=4
 解得：b=±4，
从图判断b=-4不合题意，
∴b=4．
（2）如图1，过点D作DF垂直于x轴于F，过点C作CH垂直于DF于H，

∵y=2x+4，当y=0时，x=-2，
∴OE=2，OA=4，
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∵DF⊥x轴，∠AOE=90°，
∴AO∥DF，
∵在Rt△DEF中，AD=AE，
∴OF=OE=2，DF=2OA=2×4=8，
 又∵等腰Rt△ADC中AD=CD，∠ADC=90°，
∴CD=2$\sqrt{5}$，直线CD的斜率为-$\frac{1}{2}$，即tan∠DCH=|-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$
∴在Rt△CDH中，DH=CD•sin∠DCH=2$\sqrt{5}$•$\frac{1}{\sqrt{5}}$=2，
 CH=CD•cos∠DCH=2$\sqrt{5}$•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=4，
∴点C的x轴坐标为CH+OF=4+2=6，
 y轴坐标为DF-DH=8-2=6，
 即点C（6，6）．
（3）P点位置不发生改变，
∵等腰Rt△ADC中AD=CD，
∴∠DAC=45°
 由直线y=2x+4可知tan∠AEO=2
结合图2可知直线AC的斜率：
 k=tan（∠AEO-∠DAC）=$\frac{tan∠AEO-tan∠DAC}{1+tan∠AEO•tan∠DAC}$=$\frac{2-1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$．
 由（1）知，点A（0，4）
 所以直线AC的方程为：y=$\frac{1}{3}$x+4
 令y=0，求得x=-12
 所以点P（-12，0）
 由直线AC的方程可知，点P不会随点D的运动而改变．

点评 本题考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数，解决（2）的关键是作出辅助线，借助于三角函数求出CH，DH的长度，即可确定点C的坐标．

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