Question

15．如果记y=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=$\frac{{1}^{2}}{1+{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；f（$\frac{1}{2}$）表示当x=$\frac{1}{2}$时y的值，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
（1）求f（3）=$\frac{9}{10}$；f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$．
（2）猜想f（x）与f（$\frac{1}{x}$）的关系，并验证．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的定义进行代入运算即可．
（2）把$\frac{1}{x}$整体代入f（x）的式子中进行化简求证．

解答 解：（1）∵$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），
∴令x分别等于3和$\frac{1}{3}$代入上式，
可知：f（3）=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$
（2）f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1
故答案为：（1）$\frac{9}{10}$；$\frac{1}{10}$

点评 本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解y=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），然后将具体数字代入运算即可，本题属于中等题型．